Matemática discreta Ejemplos

$9 y - 5 x = 3$ , $x + y = 1$ , $z + 2 y = 2$

Paso 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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Paso 1.1

Reordena $9 y$ y $- 5 x$ .

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$z + 2 y = 2$

Paso 1.2

Reordena $z$ y $2 y$ .

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$2 y + z = 2$

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$2 y + z = 2$

Paso 2

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$

Paso 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

Write $[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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Paso 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 3.2.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 3.2.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.2.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 3.5

Evalúa $| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

Paso 3.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 9)$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 - 9)$

Paso 3.5.2.2

Resta $9$ de $- 5$ .

$0 + 0 + 1 \cdot - 14$

Paso 3.6

Simplifica el determinante.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 14$ por $1$ .

$0 + 0 - 14$

Paso 3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 14$

Paso 3.6.3

Resta $14$ de $0$ .

$- 14$

$D = - 14$

Paso 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Paso 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Find the determinant.

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Paso 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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Paso 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 0 + 1 (3 - 1 \cdot 9)$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$0 + 0 + 1 (3 - 9)$

Paso 5.2.4.2.2

Resta $9$ de $3$ .

$0 + 0 + 1 \cdot - 6$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 + 0 - 6$

Paso 5.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 6$

Paso 5.2.5.3

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$

$D_{x} = - 6$

Paso 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 5.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 6$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 6}{- 14}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 14$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $- 2$ de $- 6$ .

$x = \frac{- 2 (3)}{- 14}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 14$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3}{7}$

Paso 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2

Find the determinant.

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Paso 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 6.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 6.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 3)$

Paso 6.2.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 + 0 + 1 (- 5 - 3)$

Paso 6.2.4.2.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$0 + 0 + 1 \cdot - 8$

Paso 6.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$0 + 0 - 8$

Paso 6.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 8$

Paso 6.2.5.3

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

$D_{y} = - 8$

Paso 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 6.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 8$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 8}{- 14}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $- 8$ y $- 14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Factoriza $- 2$ de $- 8$ .

$y = \frac{- 2 (4)}{- 14}$

Paso 6.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 14$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

Paso 6.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

Paso 6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{7}$

Paso 7

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Paso 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array} |$

Paso 7.2

Find the determinant.

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Paso 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 7.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 7.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 7.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 7.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Paso 7.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 7.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 7.2.1.9

Add the terms together.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 7.2.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 5 (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 5 (2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 5 (2 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.3.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$- 5 \cdot 0 - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 7.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 5 \cdot 0 - 1 (9 \cdot 2 - 2 \cdot 3) + 0$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 7.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.2.1.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 2 \cdot 3) + 0$

Paso 7.2.4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 6) + 0$

Paso 7.2.4.2.2

Resta $6$ de $18$ .

$- 5 \cdot 0 - 1 \cdot 12 + 0$

Paso 7.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 12 + 0$

Paso 7.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$0 - 12 + 0$

Paso 7.2.5.2

Resta $12$ de $0$ .

$- 12 + 0$

Paso 7.2.5.3

Suma $- 12$ y $0$ .

$- 12$

$D_{z} = - 12$

Paso 7.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Paso 7.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 12$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 12}{- 14}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $- 12$ y $- 14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Factoriza $- 2$ de $- 12$ .

$z = \frac{- 2 (6)}{- 14}$

Paso 7.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 14$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

Paso 7.5.2.2

Cancela el factor común.

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

Paso 7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$z = \frac{6}{7}$

Paso 8

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = \frac{3}{7}$

$y = \frac{4}{7}$

$z = \frac{6}{7}$